������ �� �� 1 ������� (����. ��)
����������� 1.1����������� ����������� �����
1 - ����������� �����. ���� n - ����������� �����, �� ��������� �� ��� n+1 ��� �� ����������� �����. ���� ���������� ����������� ����� ����������� ��������, ������ ����� �����, �� ��� ��������� + ����� �������� ������ ������������ ��������� ��������. �����, �������� + ���������������� �� �� ��������� ����������� �����. �������� + ����������� ������������ � ����� ������������������ ��������, ������������ ������ ���������, ������ ������������������ ��������, ������������ ������ ���������. ������� �������� ������ ��������
1. (a+b)+c=a+(b+c) - ���������������
2. a+b=b+a � ���������������
����� �������� + �� ��������� ����������� ����� ������������ �������� *. �������� ������������ ����� �������� . �������� �������� ���������:
��� ����, ��� ��������� ����������� ����� ����� ���� ����������� �� ����������� ����� ������������ ��� �������������� �������������� �����������. ��������, � ��� ������� ����� �����������, ��������������� ������������ ������� A1,�,An� , � ����������� ���������� ����������� A1 (��������� ���. ��������), � ��� �� �������� �������������� ������� An-1�An � ������������� ���������� ����������� A1,�,An-1 ��� ������ ������������ ����� n. ���������� ���� ������� ����������� ���������� ���� ����������� A1,�,An . ��� ������� ������� �������������� ������� .
��� n=1 ������� ��������� ��� , �����. ����� ������� ����� ��� n-1. ������� � �������������� ��� n. ��������� ������ ������ � ������� �������.
���������� ����� (a+b)n. ���� �������� ������, �������� ��������, �� ������������ ����� ������� �� ��������� ���� aibn-i � ���������� ��������� ��������������. ��������: (a+b)2=a2b0+2ab+a0b2. � ����� ������ ����� �������� , ��� - �������� �����������. �� ��������� (a+b)n=(a+b)(a+b)n-1 ������� ��������� � , ������� ��������� ������� ����������� �������. ������� ������ ��� 4 ������ . �����, ������������� � ������������ ������� �� ����������� ������ n � ������� m, �����
� 1, ���� m=0, ��� m=n,
� ����� ��������� ���������� ������, ������������� � �������� m � m-1, ���� .
����� �������, �������� ������������ ������� ���� ������������ ������������. � ��������� .
��������� ����� ������������ ����������� ����� �� 1 �� n. ��� �������� ����������� ������� .
������� 1.1 ������������ ����������� ����������� �� ������� .
�������������� ���������� ��������� �� n. ��� n=1 ����������� ��������. ����� ��� ����� ��� n-1. ������� ��� �������������� ��� n. ���� m=0, �� . ���� m=n, �� . ���� , �� . �� ������������� �������� . ������� ��������.
������� ��������� ���� a+x=b �������� � ��������� ����� ����� Z. ��� ���� ������� ��������, ��� ��������� a+c+x=b+c ����� �� �� ����� �������. �� ��������� ����� ����� ������������ ������� ����������� �������� + � *, ����������� ���� �� ������ ����������.
������� ��������� ���� a*x=b (a¹0) �������� � ��������� ������������ ����� Q. ��������� a*c*x=b*c ����� �� �� ����� �������. �� ��������� ������������ ����� ������������ ������� ����������� �������� + � *.
��������� �����, ��������� ������������ �������� +, *, � � ������� ��������� ��������� a+x=b ���������� �������� �������.
����� �������� ������ �������� 0.
��������� ������ ����� - ������ ��� 1
�������� ������, � ������� ��������� ��������� ax=b () ���������� �������� �����.
������� 1.2 � ����� �������� ���� ���������� ���� ������������ �����.
��������������. ����� - ������� ����� ����. ����� ����������� ����, � ������ � ���� ����������� ������������ �������� + � ��� ����������� �����. ��������� ��������� a+x=b ��������� ��� ���� ��������� ����, �� � �� ���������� ��� ����� �����. ����������, �� ������������ ��������� ax=b ��������, ��� � ���� ���������� ��� ������������ �����.
����� ���� ������������ ����� ���������� ������ ����. ��������: ����� ���� �������� �������� ����.
������������ ������ ���������� ����������� ���������� �����. ��������� ������������ ����� �������� �����
������� . ����� ���� , ��� ���������� ������������. � ������������ ������� �������� �������� ��������, ���������, ��������� � �������.
��������� ����������� ����� �������� ���� ����������� �����.
������������� ������������ ����� � ���� ���������� ��� �������������� ������. ������������ a � b ���������� ������������ � ������ ������ ������������ �����, ��������������. ������������ ����� ������������ ����� c ���������� Re(c), � ������ ����� � Im(c). ����� �������� ���������� ����������� � ����� c � ���������� . �������, ��� ���������� ����������� � �����, ��������, ������������ � �������� ����������� ����� ���� �����, ��������, ������������ � ������� ���������� ����������� �����.
������������ ����� c �������� � ������������ ����� ��������� c ������������ (Re(c),Im(c)). ��� ������������ ������� �����������. ��� �������, ������������ ������ ���������, � ���� ������ ���������� ������� ����� � ���� � ����, �� ������� ������������� ������������ �����. ����� ������� �������� ������� ������������ ����� � ���������� , � ���� �������� ���������� ������������ ����� � ���������� Arg(c). ����� ����� ����������� , , . �� ��� �������� ������������������ ����� ������������ ����� . ������ ����� ������� ��� ���������� ������������ � �������� ����������� �����.
������� 1.3 ����� � , ����� � .
�������������� ������� �������� �� ������������������ �������� � ������ ���������� ��������������� �������� ��� ������������ ������� � �������������� �����.
�� ������ ������� ��������
������� 1.4 (������� ������-�������) ��� ������ n � ����������� .
�� ������������ ����� ���������� ����� n ������ ������� n. ����������� . ���� , �� ��������� ���� ������ n-�� ������� ����� ���: .
������ ��������, ��� ������� ������-������� ���������� � �� ������ ������������ ��������. ������� ����� � ����, ��� ��� ��� ���� �� ��������� ��������, � �� �� ���������.
������ ������� ������������ ��������� ������ ������� n �� 1. ����� ���������, ��� ��� ��������� �������� ������������ �������� ���������. ����� ����, ��������� ������ ������� n �������������� ��� ������� ������ �� ������, �.�. . ������ ������� n �� 1 ���������� �������������, ���� ���������������� ����������� ��� � ������� ����� �������� �� ��������� ������ ������� n �� 1.
������� 1.5 (� �������������) ������ �� 1 ���� �������� ������������� ����� � ������ �����, ����� ���������� ����� �������� k � n ����� 1.
��������������. ������� � �������� ������������������ ����� �� ������� ����������. ��������� � ��������� ������������������ ����������� ������ ����� �� 1 ������� n, ���������� ������� �� ������ n, �� ������ �������� �����������. ����� � j>1, ����� , � ������ ���������� ������. �������������, s - ���������� �����, ��� ������� , ���, �� �� �����, ks ������� �� n ��� �������. ���������� ����� s, ��� ������� ks ������� �� n, ����� n/���(n,k). ������ ����� ������������� ����� � ������ �����, ����� � ������������������ ����������� ��� �����, �.�. s=n, � ������ n=n/���(n,k), ��� ���(n,k)=1.
����� ����������� ����� . �� ������� ������-������� �������� ��������� � , ������ ��, ������� . �� ���������� ��������� ������� , � ����� �� ������ ������� . ������� , ����� � ��������� .
����� ����������� ����� . ��� � ����, ������� . ��������� � ����� . ��� ���������� �������� ������� ���������� 1-z � ������������������ �����: � ���������� . ����� ���������� �������������� ����� � ������������� �������
��������� ����� ����� , ��� j=0,1,�,d-1, � ����� - ������������� ������ ������� d �� 1. �����, ����� ���������, , ��� j=0,1,�,d-1. ������� ������ �� �������� �� � ������. � ���������� ������� ��������� . ������� � ������������������ ����� ������� � ������� n � ���������: ���, ��� .
����������� 2.1����������� (���������) ���������� ������� ���� .
������������ ���������� ������� �� ���������� ��������� ��������� M. ��������� ���� ����������� � �������������� �� M ��������� ����� M(x). � �������� M ������ ��������������� �������� ������, ���� �������� ����.
� ������������ ��� �������� ������� ����� ��������� �������� ��������, ��������� � ���������. ������ �������� ��������� � �������� ����� ����������. ����, ��� � ���������� ��������� ��������� � �������������� �� ����� �� ������. ��������� ����� ������������� ������������ ����������� � �������������� ������������. ����� � ���������� ������������ ����������� � ���������� ��������� . ����� , � ������ ����� ��������� ��������������, ��� ��� � ��� .
��� ������������ ��� �������� ����� ����� ������������� �������� ���������� �������� ������� � ��������.
������� 2.1 (������� �����������)
��� ������� ����������� ��� ��������� ����� ������� � ������� ���������� ������������ �������.
�������������� ��������.
��� ������� �� ������� x-a ����������� ���������� ����� �������, ������� ���������� ������ �������. ������ ����� ����������� � ��� ���������� �������� ���������� � �����.
������� 2.2 (����)
������� �� ������� ���������� f(x) �� ������� x-a ����� f(a).
��������������� ���������� ��� �������� �����. �������, ��� ��������� f(x) ������� �� ��������� g(x), ���� ������� �� ������� ����� ����.
��� ���� ����������� f(x) � g(x) ��� ����� ��������� ����� �������� ���������, ������� ����� f(x) � g(x) ��� �������. ����� �������� �������� � ��������� �� ��������� ���������.
����� �������� ���� ����������� f(x) � g(x) ���������� ������� ���������� ���������� ����� ���������, � ������������ ���(f(x),g(x)).
��������� ���������� �������, ��������� �� f(x) � g(x) ���������� �� ���������� ����� ������� � ������������ ���(f(x),g(x)).
������� 2.3 ���� ��������� ������� �� ���������� f(x) � g(x), �� �� ������� � �� �� ���������� ����� �������.
�������������� ����� , � - ���������, ��������� �� f(x) � g(x). ������� �� � �������� , ����� - �������, � - �������. ������� . �� ��������, ������ ����� ��������� ������� ��� ������� �� f(x) � g(x). ����� �������, ������� �� f(x) � g(x) � ����� ������� ������ , ��� �������� ������ ����
������� 2.4 ���������� ����� �������� ���� ����������� f(x) � g(x) ������� ��� ������� �� ����� �� ����� ��������.
��� �������������� ���������� ��������, ��� ���������� ����� �������� �������� ���������� ����� ������� ����� ��������� ���� �����������.
������� 2.5 ���(f(x),g(x))=���(f(x)-v(x)g(x),g(x))
��������������. ������� � . ��������� ������� �� , �� ������� ��� ������� �� . ����������, �� ��������� �������� ��������� �� , �, ������ � ��������� �� . ����� ������� ���������� � ���������� ������ �������� ����������.
�� ������� �������� �������� �������, ���� � �������� v(x) �������� ������� �� ������� f(x) �� g(x).
������� 2.6 ��� ������������ ����������� f(x) � g(x) �������� ����� ���������� v(x) � w(x), ������� ������� �� ����������� ������� f(x) � g(x), ��������������, ��� f(x)w(x)+v(x)g(x)=���(f(x),g(x)).
������� �������� ��������� ������� �� ��������� �������.
������� ���� , ��� � ����������, ���������� ������������. ����� �������������� � ���� ������������ ������� ������� ����������� . ����� ���������� � , ��� . ������� ��������� �� ������������ ������� , � �������� �����. � ���������� ������� ��������� . ��� ������������� ��������� �������������� ����� ��������� ��������� ���.
��������� ���������� ������������ ��� �������� �����, ���� �� �� ������� �� ���������� ������� ������� (�������� ���������)
������� 2.7 ����� ��������� f(x) ����������. �����
I. �� ��������, ���� , ���� .
II. ���� ������������ ��������� ������� �� ������������ ���������, �� ��� ���������� �������� ����������.
��������������.
������� ������ �����������. ���� , �� ����������� �����. ����� �� ������� ��, ����� � �������� ���������� � , ��� . ������� ���������� ��������� �� : . � ����� ����� ��������� ��� ��������� ������� �� , �������������, .
������ ����������� ������� ��������������� �� ����������� ������������� ����������.
������� 2.8 ��������� ��� �������� ����� ������������ ������� �������������� � ������������ ������������ �����������, � ��������� �� ������������ ������������ � �������� ����������.
�������������� ������� ��������� �� ����� ������������. ���� ��������� ����� ���� �����������, �� �� ����������, � ������� �����. ����� ������� ����� ��� ������ ����������, �������������� �� �� ����� n-1 ������������. ��������, ������� ���������, ������� ��� ������� ��� ���������� �� ������������ ��������� (). ��������� ������������ ������� �� , �� ������� ����� i, ��� ������� �� . ���������� ����������� ���, ����� i=s. ���������� � ���������� �������� ����������. �������������, . �� ������������� �������� s-1=n-1 � ����������� ���������� ������ �������� � ��������� ��������������. ������� ��������.
��� ���������� ������ ������� ����������� ��� ����� �������� �����.
����� a ���������� ������ ����������, ���� f(a)=0.
��������� 2.1 ��������� ������� n ����� �� ����� n ������.
��� ������� ������������ �������� ������ ���������� ���������� ���������� �������, ������� � �������� ������ ��������� �������� ��������.
����� ��������� ��������� ���������, ������� � ������ a1,�,an (n>1) ��������� �������� y1,�,yn. ������� w(x)=(x-a1)�(x-an) � . ����� �������� � �������������� �������� wi(aj)=0 ��� � wi(ai)=1. �������������, ��������� f(x)=y1w1(x)+�+ynwn(x) ��������� � ������ a1,�,an �������� y1,�,yn.
������� 2.9 (���������������� ��������� ��������)
���������� ������������ ���������������� ��������� ������� �� ������������� n-1, ������� ��������� � ������ a1,�,an �������� y1,�,yn..
��������������. ������������� �������� ����. ������� ��������������. ��������, ����� f(x) ���������� ��� ���������������� ��������� h(x) ������� �� ���� n-1. �������� ����������� f(x)-h(x) ����� 0 � ������ y1,�,yn., ������, �� ������� ����, ��� ������� �� w(x). ��� ��� ������� w(x) ����� n, �� f(x)-h(x)=0.
����� f(x) � ������������ ���������. ��� ��������� ������� ������� ����� �������� . ��������� ��������� �������� ������� k .
�������� 1
.
�������������� ������� ��������� �� ������� ��������. ��� k=1 ����� . ��������� �������� ��������. ����� ����������� ����� ��� ���� ��������� ������� k-1. ������� ��� �������������� ��� ���� ��������� ������� k. �� ����������� . ��������� ������ ��������� k-1 ������� �� ���������, ������� ����� ���������� �������� � ������ ����� ��������� ������� ��������� �����������.
�������� 2
�������� �� ������� �� �������, � ������� ����������� �� ���������
�������������� �������� �� �������� 1.
�������� 3
���� ������� ���������� f(x) ����� n, �� �������� ������� k ���� ��������� ������� n-k ��� nk � 0 ��� n<k.
�������������� ������� ��������� �� k. ��� k=1 ����� . ���������� ����� �������� ��������� , ������ . �������������, �� ������� ���� ��������� ������� ��� ������� �� ������� . ��� ����� ��������� �������� ��������. ����� ����������� ����� ��� ��������� ������� k-1. ������� ��� �������������� ��� ��������� ������� k. �� ����������� �������� ������� k ����� . �� ������������� �������� ��������� ���� ����� ��������� ������� n-k+1. ����� ���� (�������� 2) � �� ������� ���� ��������� ������� ��� ������� �� ������� . �������� ��������.
�������� 4
f(x)=f(a1)+(x-a1)f(a1,a2)+�+(x-a1)�(x-ak-1)f(a1,�.ak)+ +(x-a1)�(x-ak)f(x,a1,�.ak)
��������������. �� ����������� �������� ������� k ������� �������� �������� ������� . ��������� ���� ������� ������� ������� �������.
����������� 2.2��������� ��� ������� ����� ����� ���������� �����������, ���� ���������� ����� �������� ��� ������������� ����� 1.
��������� � ������������� �������������� ������������ ������� �������������� � ���� ������������ �������������� ������������� ����� � ������������ ����������. ������������ ����� �������� ����������� ����������.
������� 2.10 ������������ ����������� ����������� ���� ����������� ���������.
�������������� ������� ������� �� ����������. ����� ������������ ���� ����������� ����������� � ���� �� ����������� ��������� . ������� ������� ����� p, ������� ����� ��� ������������ ���������� h(x) ��� �������. ����� -����� ������� (� ���������� �������) ����������� f(x), �� ��������� �� p ��� ������� (����� ������� � ���� ������������� ����������), � - ����� ������� ����������� g(x), �� ��������� �� p ��� �������. ����������� ���������� h(x) ��� ����������� �� ������� . ��������� ������� �� p ��� ������� ��� s<i, ��� ��� ����� ��������� ������ p, � ��� s>i, ��� ��� ������ ��������� ������ p. ������������ ���������, ������� �� ������� �� p, ���������� ��� s=i. �������������, ��� ����� �� ������� �� p, � ������ �� ��� ������������ h(x) ������� �� p, ��� ������������ ���������� ���������. ��� ����� ������� ��������.
��������� 2.2. ���� ��������� � �������������� �������������� �������� ��� ����� ������������ �����, �� �� �������� ��� ������� ����� �����.
��������������. �������� ��������� ��� ����� ������������ �����. ������ ��������� ���������� � ���� ������������ ��� ���������� � ������������ ����������. ������������ ����������� ����������� ���� ����������� ���������, ������� ������������ ���������� ���������� ����� ���������� ��������� ����������. ��� ���������� �������������� �������� ��������, ��� ���������� ��������� ���������� ���� ����� �����.
����� �������, ������ ���������� ���������� �� ������������ ��������� ��� ����� ������������ ����� �������� � ����������� ������ ��� ������� ����� �����.
������� 2.11 (�������� �����������) ����� f(x) ��������� ��� ������� ����� �����. ���� ���������� ������� ����� p, ���
I. ��� ������������ ���������� f(x), ����� ��������, ������� �� p
II. ������� ����������� �� ������� �� p
III. ��������� ���� �� ������� ��
����� ��������� f(x) ���������� ��� ����� ������������ �����.
�������������� ������� ������� �� ����������. �������� ��������� h(x) ������������� �������� ������� � ��� �� ����� ���������� � ���� ������������ ���� ����������� f(x)g(x). �����������, ��� ���������� � ������ ��������������. ��������� , �� ���� ������� �� p, ���� ������� �� p (��� ����� �������� �� �����, ��-�� ������� III). �����, ��� ������������� ������� �� p, � �� ������� �� p. �� ��������� , ��������� � �� p, � �� ��������� �� p, ������� ��������� �� p. ��������� �����������, ����� � ����, ��� ��� ������������ f(x) ������� �� p, ��� ������������ ������� I.
������� ��������, ��� �������� ����������� ��� ����������� ������� �������������� �����������, �� �� �����������. ��� ��������� �������� ������������ ��� ����� ������������ �����, �� �� ������������� �������� �����������.
��������� 2.3 ��� ����� ������������ ����� ������� ������������ ��������� ������� n, ��� n ����� ����������� ����� ������ 1.
�������������, ��������� , �� �������� �����������, �������� ������������.
��������� 2.4 ��� �������� n ��������� ���������� ��� ����� ������������ �����.
��������������. �������� ��������� �� �������� x-1 . ��������� ������������� �������� �����������, �, ������, �������� ������������. �� ����� ���������� � ��������� .
���� ��������� f(x) ������� n ��������, �� ���� �� ���������� ����� ������� �� ���� n/2. ��������� ���� ��������� ����� g(x). ��������� ��� ������������ ����������� ���� ����� �����, �� ��� ������ ������ a �������� f(a) ������� ��� ������� �� g(a). ������� m=1+n/2 ��������� ����� ����� ai, i=1,�,m. ��� ����� g(ai) ���������� �������� ����� ������������ (����� ��������� ������ ���������� ����� �������), � �������������, ���������� �������� ����� �����������, ������� ����� ���� ���������� f(x). ���������� ������ �������, ���� ������� �������������� ����������, ���� �������� ��� � ������������ ���� �����������. � ������� ��������� �������� ��������� ����� �� ��� ���, ���� ��� ��������� �� ������ ������������� ������������.
����� - ��������� � ������ �������������� � ����������� 1, �, - ��� ������������ ������. ���������� ���� ������ � ���� ������������ ����� . ��������� f(x) �������������� � ���� ������������ ����������� ����������� . �������������, ��������� a �������� ��������� , � ����������� � ��������� . ����� ����, ��� ������ ������ k �������� f(k) ������� ��� ������� �� (bk-a).
����� f(x) - ������������ ��������� ������� n ��� �������� ����� P, � ����� ������ ����� ���������� � ��������� �������� ���� T (P ���������� � T). �������� ���������� ����, ���������� ���� P � . ����� ��������, ��� ����� ���� , ��� ����������� ����� ����. ��������� ��������� ���� ����� .
������� 2.12 ��������� �������� �������� �����.
��������������. ����������� ������������ ��������, ���������, ��������� ��������. ������� ����������� ������������ �������. �� ����� �������� ��������� �� P(x). ���������� ����� �������� ����������� a(x) � f(x) ����� 1 (� ���� �������������� f(x)), �������������, �������� ���������� u(x) � v(x) �� P(x), ��� u(x)f(x)+v(x)a(x)=1. ��������� ������ x �������� . ������� ��������� . ��������� , � , �� ������� ��������.
� �������� ����� ����� ����� ������ ���������� f(x). � ���������� ����� ���������� ��������� ���� .
����������� 2.3 �������� ���� ���������� �����������, ���� ���������� ������� ����������� ������������, ����������� �������� +,*.
��������� 2.5 ����� f(x) - ������������ ��������� ��� ����� P, � a, b - ��� ����� � ��������� ���� T. ����� ���� P(a) ��������� ���� P(b).
� ���������� ���� ����������� ����� ������������ ���� T, ������� ��������� ������ ����������. ��������� �� ����� ����. ��� ����� ������� ��������� �������. ��������� ����� P[x] ��������� �������� �� ������� ����������� �� P(x) �� ������������ ��������� f(x) (��� P). �� ���� ��������� ��������� �������� �������� � ���������. �������� - ������� �������� �����������, � � �������� ���������� ��������� ����������� ������ ������� �� ������� �� ������������ �� f(x). � ���������� ������� ��������� ����������� ��� �������� ���������� �������� �������� � ���������, ������ ��� ��������� ��������� P(a), ��� a - ������ f(x) � ��������� ���� T. ��� ���������� ���� P[x] ���� T ����� �� ���������.
�������, ��� ���� P[x] �������� �������������� ����� f(x). ��� ���� �������� � ������������� ����, � ������� f(x) ����� ������, ����� �� ����������. ������� ��������, ��� ������� x ���� P[x] �������� ������ f(x).
������� 2.13 ����� f(x) - ��������� ��� ����� P. ����� ���������� ���� T (P ���������� � T) ��� ������� ��������� f(x) ����������� �� �������� ���������
��������������. ��������� f(x) �� ������������ ���������. ���� ��� ��������� �������, �� ������� ��������. � ��������� ������ ������ ������������ ��������� ������� ������ 1 � ����������� ��� ������. �����, �������� �����������. ������� ���������� ������������ �� ����� ��-�� ���������� ������� f(x).
����, ��� ������� ��������� ����������� �� �������� ���������, ���������� ����� ���������� ����������.
��������� f(x+y)-f(x) ������� �� y ��� ������� (��������� �� ������� ����). ������� . ��������� F(x,0) �������� ����������� ���������� f(x) � ���������� .
������� 2.14 (�������� �����������)
1.
2.
3.
�������������� ������� �� ����������� �����������.
�������, ��� ��������� ����� a ���������� f(x) ����� k, ���� f(x) ������� �� � �� ������� (��� �������) �� .
������� 2.15 (��������� �����)
���� a ������ ���������� f(x) ��������� k, �� a ������ ��� ����������� ��������� k-1.
��������������. ����� a ������ ��������� k ���������� f(x). ����� f(x) ���������� � ���� ������������ , ������ . ����������� �� f(x) ����� , ��� . ��������� , �� ������� ��������.
��������� 2.6 ��������� �� ����� ������� ����������.
��������������. ������� � ���� ���������� f(x). ��������� ��� ���� ����� ����� �� �� ����� �����, ��� � f(x), ������ ��������� 1. ������� � �������� ���� P. ��������� ����������� �� �� �� ������������ ��������� ��� � f(x), ������ ��������� 1.
����������� ������� k �� ���������� f(x) ��������� . ��� k=0 ��� ����� �������� �������� ���������.
.
�������������� ������� ��������� �� j. ��� j=1 �������� ������� ����������������� ������������. ����� ������� ����� ��� j-1. ������� � �������������� ��� j. ����� ����� ���������. ���� ����������� �� ������� ����������, ������� ��������, ������� ��������� ���������.
��������� 2.7 ������� ��� i=0,�,k-1 � ����������� ����, ��� - ������ f(x) ��������� k.
��������������. ����� - ������ f(x) ��������� k, ����� , ������ . ����������� ������� i ����� . ��������� ������� ��������� ��� i=0,�,k-1 � . �������, �������� f(x) �� �������� , �.�. . ����� ��������� � ������ - ������ f(x) ��������� k.
� ���� ������� ���������� ����� ��������� ���������� �������, � �������� �� ��������� ��������� ������ �� ������ ��� ��������, �� � �������� ����������� �� ������������ ��������. ����� �� ��������� ����� ������ �������� ������� � � ����������� ������ ��������. ��� ����� �������� �������� ����������� ������� i � ����� . ��� ����������� ������� 0 ����� �������� ���� �������. ����� ������ �������� , ��� j=1,�,k � .
������� 2.16 (���������������� ��������� �������� - ����������)
���������� ������������ ��������� h(x) ������� ������ , ��������������� ���������� , ��� j=1,�,k � .
��������������. ������� , . ��� i=1,�,k ��������� ����� � ����� �� �������� , ��� . ��������� ������������� ����������: ��� � , � . ��� �� �������� � �������������� �������� ����� ����������� j ������� . ��������� ��� � , �� ��������� ��� � �����������. ��������� ������ � ������� ��������� ������ ������ ��� ���������, ����� ���������� ��������, ������� ��������� . ����� �������� �������� ���������������� ��������� . ��������� ������� ������� ���������� ������ , �� � ������� ����� ������ . �������������� ����������������� ���������� ������� ������� �� ����������. ��������, ���������� ��� ���������������� ���������� h(x) � g(x). �� �������� ����� ������ ��������� �� ������ � ������, ������� �� w(x) ��� �������. ��������� ������� w(x) �������� ������ ��� ������� h(x)-g(x), �� h(x)=g(x).
������� 2.17 (������� �����) ����� ��������� ����� ����� . ����� .
����������� 2.4����������� �� n ���������� ���������� ������� ���� . �������� ���������� ���������� ������������ ��������� ������� �� ���� ����������. ��������� ���� ���������� �������.
��������� �� n ���������� ����� ��������� ��������� ������� ������������ �������. ����� ������������ ������� ������ �������, ���� ����� ��� �������� ����������������� ����������. ��������� ����� v(f) ����� �������� ������������� ������. ����� �����
����� 2.2 v(fg)=v(f)+v(g),
�������������� �������� �� �����������.
����������� 2.5��������� �� ���������� ���������� ���������� ��������������, ���� �� �� �������� ��� ����� ������������ ����������.
����������� 2.6���������� , ��� i=1,�,n ���������� ������������� ��������������� ������������.
������������ ���������� � ��������� �� ����� ���� �������� ������������ �������������� ����������� �� ��� ������.
������� .
����� 2.3 ����� f - �������������� ��������� � , ����� .
��������������. ���� ������� i, ��� ������� , �� ���������� � . � ���������� ������� ����� ������� �����.
����� 2.4 ����� - ����� ����� ��������������� �����. ����� .
�������������� ���������� ��������������� ���������.
������� 2.18 (�������� ������� ������� �������������� �����������)
����� �������������� ��������� ������������ ������� �������������� � ���� �������� �� ������������ �������������� �����������.
��������������. ����� - �������������� ��������� � . ��������� ����� ����������� ��� ������� ������ f � ������� . ��������� g �������������� � v(g) ����������������� ������ v(f). �������������, ����� �������� ����� ����� �� ������ ������ ���� � f ��������� � ���� �������� �� ������������ �������������� �����������.
��������, ���������� ��� ������ ������������� . �������� f-g - �� ������� ��������� �� ������������ �������������� �����������, �� ��� ��������� ������������ �������������� ����������� ����� ���������� �� ������ ���������� � 0.
������� ���� , � �������� �������� ������������. ���� ����� ������ ���������, �� �� ��� ������� �����, �� ������� ����� ����������������� ����������. �����, ���������� ������ �������� �����������. ��� ����������� ���������� ������ ������������ �������������� ��������� ������ ���� ����� ���� ������� �����. ������ ��� ����� ������ ������ � ������������ ���������. �������������, ������� ����� � �������� �� ���� �������������, ��� ������������ ��������� f-g=0.
��������� ����� ����������� ��������� ����� . ������� � , . ����� ���������, ��� � , - �������������� ���������� �� . �� �������� ������� ������� �������������� ����������� �� ����� �������� ����� ������������ �������������� ����������, �������� �������, �� �������� �����, ��������� � ��������� �� ����� � �������������� ��������� ����������. ������� ��������� ����������, ������� � . �� �������� ����� - ����� ����������� ��������� � ����� ���� ��������� �� �������� . ����� ������� ����������� ��������� , , . �� ���� ������� ������� ����� ��������� ���������.
��������� ����� ��������� ����� . ������� , , . ����� ���������, ��� ������������ ���������� �������� ���� � ��������� ������������ � �������, ������������ �������������� ���������� �� �������� ��������������� ������������ �� . �������������, ����� �������� ��������� ������ �������, ������������ �������� ���� ���������� �� ������������� ��������� ����������, ������� �������� �������� . ���������� ��������� �������� ���������� ������������. ����� ���������� ������ , �� ��������� ( � ���� �������� ������� ������� , ) ������� , �� ��������� - , � �� ��������� - . ������� ��� ����� ����� � ��������� ��������� � ��������� ����� ��� ����� ��������� ���������.
�������������� ���������� ��������� �� n ���������� . ������� ������������� �������� �������������� �����������.
����� 2.5. ��������� �������� ������� � ������������� �������������� ����� ���� �� ���� ������������ ������.
��������������. �� ������� �������� ����� ������� ������� ����������� ���������� ������ 1. ����� , � . ����� ����������� ����������� � . �� ������ ������� ��������� f(x) ��������� ��������, ��������������� �� �����, �������������, ������� ����� �����, ��� .
����� 2.6. ��������� ������ ������� � ������������ �������������� ����� ����������� �����.
�������������� ��������.
����� 2.7 ��������� � ������������� �������������� ����� ���� �� ���� ����������� ������.
��������������. ����� ����������� �����, �, ������ � ������� ���������� n, ����� ����������� � ���� ������������ , ��� m � �������� �����. �������������� ������� ������� �������������� �������� �� s. ���� s=0, �� n � �������, � ����������� ������� �� ���������� ���� �����. ����� ����������� ����� ����������� ��� s-1. ������� ��� �������������� ��� s. ���������� ��������� f(x) ������� . �������� ��� ���� ����������. � ���� ���� �� ����� ����� . ��� ���������� ������������� ����� q �������� ��������� . ������������ ����� ���������� �������� ��������������� ������������ �� , � ������ ������������ (� ������������� ��������������) �� ������������� f(x). ������� ����� , � �� ������������� �������� ��������� ����� ����������� ������. �� ������� ��������, ����� �������, ��� �������� ��������� ������������ ����� � , ��� ������� ����� � - �����������. �� ����� � . ��������� ������ ������� ����� ����������� ������������, � ������ � ��� ����� . ��� ����� ����� ��������.
������� 2.19 (�������� ������� �������)
����� ��������� ��� ����� ����������� ����� ����� ���� �� ���� ����������� ������.
��������������. ����� f(x) ��������� � ������������ �������������� . ������� � . � ���������� g(x) - ������������ ������������, � �� ����������� ����, g(x) ����� ����������� ������ a, �� ���� . ���� f(a)=0, �� ������� ��������, a � ������ f(x). ����� . �� ��������� �������� ���������� , ������ ������� ������ f(x).
��������� 2.8 ��������� ��� ����� ����������� ����� ����������� � ������������ �������� ����������. ���������� ����������� � ��������� �� ������������ ������������.
��������������. �� �������� ������� ������� ��������� f(x) ��� ����� ����������� ����� ����� ����������� ������ a, � �� ������� ����, ������� �� ������� x-a. ������� f(x) �� x-a � �������� ��������� �������� � �������. � ���������� �������� ��������� �� �������� ���������. �������������� ���������� �������� ����� (������� 2.8).
���������� ��������� � ������������� �������������� . ��� ����� ����������� ����� �� �������������� �� �������� ���������. ���� a ��� ����������� ������, �� , �.�. �� �� ������ f(x). ����� �������, ��������� f(x) ������� �� ������� � ������������� ��������������. ��� ����� ����������
������� 2.20. ��� ����� ������������ ����� ��������� �������������� � ������������ ������������ ����������� ������� 1 � 2. ���������� ����������� � ��������� �� ������������ ������������.
����������� 2.7������������������ ����������� ������ ������������������� ����������� ������, ���� ��� ������������� ��������� ��������:
I. ����� ��� �������� ���������� �� ����� ����� ������
II. ���� a � ������ ��� i>0, ��
III. ��������� ��������� �� ����� ������������ ������.
IV. ���� � ������������ ����� a ���������� ��� ��������� ����������, �� , � ���� �������, ��
��� ������������������ ����������� F � ����� a ��������� w(a) � ����� ������� ����� � �������� ������������������ (���� ����������).
������� 2.21 ������
����� ��������� ������ ���������� �� ������� ����� .
��������������. ����� ����� ����������� �� ���� ������ F, ������������� ������� � ������������� � ������� �����������. ���������, ��������� ����� �������� ���� ������ ��� ����������� ����� ������, �� ��� ����� ����� �� ��������� ����� ������� ����� �������� ���� � ����. ���� ������ ���������� (i>0) �� ������������������ ��� ���������� ����� �� ������ �������� y ��� ������ ���� �������� �����, �.�. �� ������� II �� ������ ����� ����� ������ ������. �������������, ����� ������� ����� ����� ���������� ������ ��� ����������� ����� ������ ���������� . �� ������� IV, ����� ������� ����� ����� ������ �����������.
����� ��������� f(x) �� ����� ������� ������. �������� ������������������ �����������: , , � �����, - ������� �� ������� �� ���������� �� -1.
������ ������������������ ����������� ����� ������������������� ����������� ������. �������������, ������� IV ��������� �� �������� �����������. ���������� ����� �������� ���������� � ��� ����������� ����� 1, �.�. ��� ������� ������. ����� �������, ��������� ��������� � ���� ����� ��������� � �� ����� ������������ ������. �� ��������� �������� ������� II. ��������� x=a, ��� a � ������ , ������� . ������ ����� � �������� ����������� �� ����� ����, ��� ��� ��� ������� �������� � ������������� ������� ������ � .
��� ����� ������� �������� � ������ ���������� ������� ������� �������� ���������. ��������, ���������� ������������� ����������������� ���������� ������� ������������� �������������. � ����� ���� ������ ��������� ������� ������� �������� ��������� �������� ��������� �������. ����� ����� ����� ��� ����������� ������� ������ ���������� ��� ��������� ������� ���������� � ���������.
������� ������� �����, ������������ �������������� ��� ����������� . � ������� ������� �������� ������������� ������� ����� ��������. �������� � ������� ������������� ������ ����� ��������� ������� �� �� ������� ������������� ������������ ������. ������������ ������� ���������� ����������� �������� ������� �������� ���������. � ���������� ��� ����� ������� �������� �� � �������� �������� ���������, � � � ����������� ��������.
��������� ����� M ��������� ������� ������� �������� ��������� (���������� ��������� M �������� n-���������� ������, ��������������� ������� �������� ���������). �������������� ������� �������� ��������� ���������� ������������, ���� ��� �� ������ � ��������� �������. ����������, �������������� ������� ���������� ������������, ���� ��� ������������� ������������� �������������� ������� �������� ���������.
������� 3.1 ��������� �������������� ������� �������� �������������:
I. ��������� ������ �� ��������� �����.
II. ������������ �����
III. ����������� � ��������� ������ ������ ������, ���������� �� �����.
��������������. �������������� ���� ��� �������������� ������������ �� ������ �����. ������� ���� ����. ����� M � ��������� ������� �������� ������� �������� ���������, � T � ��������� ������� ��������������� ������� �������� ��������� (����� �� ��� ������������� ��������������). ���� ������� x �� M, ������������ ��������, ��� �� ����������� T. ��� ����� ������� ��������� . �����, �� ����� ������� �������� ��������� ����� ��������� � �������� �������, �������� �������� ��������������. ������, �� ����������� ����� . ��������� ��� ��������� �������� ��������� ���������.
������� 3.2 ������������� ����������������, ���������� ���� (������� 3.1) ����������� ������� ����� �������� � ������������ ����.
��������������. ������� �������� ���������� ������� � ������������ ����..
����� ���� ��� ������� ��������� � ������������ ���� ����� ��������� ������� ������� �������� ���������, ���� �������� ��� ����������. ���� ������� ����� ������, � ������� ������ ���� ��������� �������, ������������� � ��������� �������, �� ������� ���. � ��������� ������ ������� ���� � ����� ���������.
����������� 4.1. ������������� n-�� ������� ���������� ������� ����������� ����������� ��������� ����� �� 1 �� n �� ����.
������������ ����� ���������� � ���� �������, ��� ��� ������ ������ ����� ��� �����. ��������, ������������ 3 ������� ��������� 1 � 3, 2 � 1 � 3 � 2.
����� 4.1. ����� ������������ n-�� ������� ����� n!.
�������������� ��������.
����������� ������������, ��� ������� ����������� ������� ��������� ��������� ������� ������������ ������� �� ������������. ����� ������������ f ������ � ������������ ������ i ����� f(i), � ������������ g ������ � ������������ ������ j ����� g(j). ���������� ������� f(g(i)). ��������, ��� ������� ������ ������� ����������� ����������� ��������� ����� �� 1 �� n, �, �������������, ���������� ������������.
����������� 4.2. ������������, ������������ �������� f(g(i)) �������� ������������� ��� ������������� ������������ g � f � ���������� gf.
��� ������� ������ ������������ ������������ � . ��������� f(g(1))=f(1)=2, f(g(2))=f(3)=3, f(g(3))=f(2)=1, �� .
������� ��������� �������� �������� ������������ ������������.
�������� 4.1 �������� ������������ ������������ �� ������������, �� ���� � ����� ������.
�������������, �������� 4.2. �������� ��������� ������������ ������������, �� ���� f(gh)=(fg)h.
��������������. � ������������ f(gh) ����� i ������������ � ����� (gh)(f(i))=h(g(f(i))), � � ������������ (fg)h ����� i ������������ � ����� h((fg)(i))=h(g(f(i))). � ����� ������� ����� ���������.
����������� 4.3������������ ���������� �������������, � ������������ e. ������������ f ���������� �������� � ������������ g, ���� fg=e.
�������� 4.3. �������� ������������ ���������� � �����������.
�������������� ��������� ������� ������� �� ����������� ������������ ��� ������� ������������ ������������.
������� � ���������� ������ j, �������� ������������������ ����� . � ������ ������������������ ����������� �������� ����������, ��������� ��������� �������� ������������ �������. ����� - ���������� �����, ����� �������� ���������� ����� ������������� ����� � ������������������ (�.�. � k>s). ���� , �� ����� �������� ������� ���� ������� � , ��� ������������ ����������� ������������ ��� ������� ������������ ������������. �������������, , � ������������������ , ������� � �����, �������� �����������. �� ������������� ����� ������������������ (�.�. � ������ k+1 ������) ���������� ������ ����� k+1.
����� ���������� ������������, ���� ������� ��� ����� �� ����� ����� �������.
����� ��������� ������ ������������ ���������� �� ������ � ���� ������������ ����������� ������.
����� ������ ������������ ������������ � ���� ������������ ����������� ������, � �� � ��������� ����. � ������� �� ���������� ���� ������������ ������� � �������. �� ������ ������� i ������� ��� ����� f(i). ������ � ����� ��������� ����. ����� ������� ����� �������. �� ������� ����� ��������, ������� ��������� ���� � ���� (�.�. ����� ����� 1). ��������, ������������ ��������� ��� (1-3), � ������������ ��������� ��� (1-3-2, 4-5)
�������������� ���������� ��������� �� n ���������� . ������� ������������� �������� �������������� �����������. �������������, ��� ������������ ���������� ����� �������� ������ ���� �������������.
����������� 4.4. ������������ f ���������� ������, ���� ��� �� ������ ���� ������������� ( �� ���� ), � �������� � ��������� ������.
�������� 4.4. �������� ������������ ������������ ������� �� �������� ������������. ������������ ������������ ���������� �������� ������ �����, � ������������ ������������ ������ �������� � �������.
���������� ������������ �������� � ����������������� ���������� ������������ ������������. �������������, ���� ������������ ����� ������������ ������ ������������.
����������� 4.5. ������������, �������� ������ ��� �������� �� ������� ������, ���������� ���������. �������� ����� ��� (i-i+1).
�������� 4.5. �������� �������� �������� �������������.
�������� �������� � �������������, �����, ��� ���������� ���� ������ � ������������� ����������� . �������������, ������������ ������ ����.
����������� 4.6. ��� ������������ f ��������� ����� ��������� ������� ��� ����� ���� ���, ��� ������� i<j � f(i)>f(j).
��������, ��� ��� ��� ���������� ������ ��� ���� �� ������� ���������� �������. ��� 1,2 (f(1)=3>f(2)=1) � 1,3 (f(1)>f(3)=2).
������� 4.1.������������ f ����������� � ���� ������������ ��������.
�������������� �������� ��������� ��
. ��� ���������� ������������ ������������ . ���� , �� ������������ ����
�������� ���������. ����� ����������� ������� ����� ��� . ������� ��� �������������� ��� . ������ ����� i ���
�������� f(i)>f(i+1) (������������� ������ i ��������). ������������
(i-i+1)f ����� j ��������� �������. �� ������������� ��������, ��� ������������
����������� � ���� ������������ j �������� . �� ����������� ���������, ������� ����� ��
(i-i+1), ������� .
������������ f ������������ � ���� ������������ j+1
��������, ��� ����� ������� ��������.
�� ������� ��������, ��� �������� ������������ ��������� � ��������� ����� ��������� ������� � ���.
����������� 4.7. ������������, �������� ������ ��� ��������, ���������� �������������.
����� 4.2. ������������ �������� �������� �������������.
���������� ������������ (i-j), ��� i<j. ����� ��������� ������� ���� ������������ ����� 2(j-i)-1, ������ �������� �����.
����� 4.3. �������� ����� ����� k ����� �������� ����� k-1.
�������������� �������� ��������� �� ����� ����� k. ��� k=2 ����������� �������� � ���������� �����. ����� ����������� ����� ����� ��� k-1. ������� ��� �������������� ��� ����� ����� k. �� ��������� �������, ��� �������� ����� ����� k ����� �������� ����� ����� k-1 ���� 1, �� ���� �������� k-1.
����������� 4.8. ����� ���� ����������� ������ ����� ���������� ������ ���������� ����������� ������������.
�������� ������������ � ������������ ����������� ������, ��������� � ��������.
������� 4.2. �������� ������������ ����� �� ����������.
����������� 5.1. ����� A � ���������� ������� ������� n � ���������� . ������������� ������� A ���������� ����� �� ���� ������������� . ������������ (�����������) ������� ������������ ��� det(A).
� ��������� ������������ ������� ������� ������� ����������� �� ������� , � ������������ �������� ������� ����� . ���������� ������������� ������� �������� ������ �� ����������� �� �������������.
�������� �������� �������������.
������ ����� ������� �� �� ������� ������� ��������� ���������������� � ��������� ����� .
�������� 5.1. ������������ ������� �� �������� ��� �� ����������������.
��������������. . ���������� ����������� � ������ ��������� �� ����������� ������� �����, ������� , ��� g �������� ������������ � f. ��������� �� ������������ ������ ������������, �� �������� f � g ��������� � . ����� f ��������� ��� ������������, �� g ��������� ��� ������������. �� ������������ ��������� ����� �� ��������, ������� .
�������� 5.2. ��� ������������ ���� ����� ������������ ������� ������� ����.
��������������. ����� ������� B �������� �� ������� A ������������� ����� � �������� I � j. ������������ (i-j) ��������� ����� . ����� ����� ��������� . ������� ������������ ������� B ����� �������� ������� A . �������� ��������� � ��� ���� , ��� ����� f ��������� �� ��������� ������������ , �� ���� ��������� ��� ��������� ������������ ������� ��������� ��������.
�������� 5.3. ���� ������� ����� ��� ���������� ������, �� �� ������������ ����� 0.
��������������. ��� ������������ ���������� ����� ������� �� ��������, � ������, �� ��������� � ������������. �� ����������� �����, ������������ ������ �������� ����. ���������� ���� ������� �������� � ������������ ������, ������������ ����� ����.
�������� 5.4. ������������ �� ���������, ���� � ������ ��������� ������ ������ ���������� �� �����.
��������������. ����� ������� B �������� �� ������� A ������������ � ������ i ������ j, ���������� �� ����� c. ������� ������������ ������� B ����� �������� ������� A . �������� ������ � ���������� ���������, ������� . ����� �������� ������������� �������, � ������� ��� ������ ����� (I � j), �, ������, ����� ����. ����� �������, .
�������� 5.5. ������������ ����������� ������� ����� ������������ ������������ ���������.
��������������. ����� ������� A ����� ������� ����������� ���, �.� ��� i<j. ������������ ������� ����� . ���� , �� , ������� � ����� ��������� ��������� ������ ��� . ��������� , �� ���������� ���������, �������� . � ��� �����. � ����������, ����� �������� ������ ���� ��������� ���������, ��������������� ����������� ������������, �, ������ . ���� ������� ����� ������ ����������� ���, �� ����������������� ������� � � ������� ������������ ����, � ����� �������� �������� 5.5 .
��������� ��� ���������������� ������������ ������� �� ��������, � �������������� �� �������� ���������� ���������������� �� ���������, �� ��� ����� �����������
�������� 5.6 ������������ �������
1. ������� ���� ��� ������������ ��������
2. ����� ����, ���� ������� ��� ���������� �������
3. �� ��������� ��� ����������� � ������� ������� �������, ����������� �� �����.
����������������, ���������� � ������� 5.1, �������� ������������ � ������������ ����. �����, ������������ ����� ������������ ������������ ���������.
������� ������ ���������� ������������ ������� . ������ �� ������ ������ ���������� (������� � ��������� ������). � ���������� ������� ����������� �������, �� ��������� ������� ����� 1. ������������ ����� 1.
����� ���� ����� . �������� ����������� ���������� �������, � ������� �� ����������� i-�� ������� � j-�� ������ ���������� �������, ������ . ��������� ����� ������� �����������. ������������ ������� ����������� �������� ����������� �� , �.�. . ���������� ������������ ��� ��������� �� . ������� ����� ���������� ����� n-1, � ��� ����� ����� (�.�. ������������ ������� � ����� ����������� �������� ����� ����). �������������, , ��� q � ����������� ��� ������� �������. ����� ���������, ��� . ����� ������� �������� ������������ ������� , ���������������� ����������� ������� ����� � ��������� .
����������� 5.2. ����� � ��������� ������� ����� � �������� ������� A, ��������������. ���������� ������� A, ������������� �� ����������� ����� � �������� �� I � �������� � �������� �� J, ��������� ��� , � ����������, ���������� �� A, ������������� ����� � �������� �� I � �������� � �������� �� J ��������� ����� . ������������ ���������� �������, � ������������ - �������������� �������.
����� 5.1 ����������� ��������� .
��������������. ������� ������ ����� ��������� ����� �������� �������� �������. ��� ����� �������, ��� � , ��� (������ ����������� � ������� �����������). ��������� ������ ��������� � ������ ����� � ����������
������ ����� ������� �� ���������, ������ ����� � �� k! ��������� � ������ ����� � (n-k)! ���������. �������������, ����� ���������� ��������� ����� n!. �������, ��� ������ �� ���� ��������� ������ � ������������ � ��� �� ����� ������. ��������� ����� ��� , ��� . � ������������ ��� ������������� ������������ . ���������� ������������ � ���� ������������ ��� ������������ , ��� , � . ����� ��������� � �������������� �������� , , . �������������, , � ����� �������, ���������� ������ ��������, ��� ��������� �������������� �����.
������� 5.1 (�������). ����� ��������� ������� �����. ����������� ��������� .
��������������. ��������� ����� B �������, ������������ �� ������� A ���������������� ������������� ����� � �������� �� I �� ����� ������ k ����� (��� ���� ������� ��������� ����� �� ����������). ��� ����� ����������� ������������ �����, � ������, . �������� ������������ ������� B (����� 5.1), � �������, ��� , ������� .
��������� 5.1. ����� ��������� ������� ��������. ����������� ��������� .
�������� �� ������� ������� � ��������� ������������� .
��������� 5.2. (���������� �� �������). ����� j � ����� �������. ����������� ��������� .
��������� 5.3 (���������� �� ������) ����� i � ����� ������. ����������� ��������� .
������� ������������� ������� �������.
����������� 5.3. ����� A ������� ��������� m*n, � B ������� ��������� n*k. ������������� ������ A*B ���������� ������� C ��������� m*k, �������� ������� ��������� �� �������� . ������� �������, ������� ������� ������������, ������������� �� ����������� i-�� ������ � j-�� ������� ����� ������������ i-�� ������ A �� j-�� ������� B.
�������� 5.7 ����� A*B=C. ������ i ������� C �������� ����������� ����� ������� B, ������ ������������ ������� �� i ������ ������� A. ������� j ������� C �������� ����������� �������� ������� A, ������ ������������ ������� �� j ������� ������� B.
�������� 5.8. ������������ ������ �� ������������.
�������� 5.9. ������������ ������ ������������.
������� 5.2 (����-����). . ����� A ������� ��������� m*n, � B ������� ��������� n*m (n ������ ���� ����� n). ����������� ��������� , ��� - �������, ������������ ��������� ������� A � �������� , � - �������, ������������ �������� ������� B � �������� .
��������������. ����� C=AB. �� ����������� ������������ . ������� �������� C ����� �������� A � B, ������� . ���������� ��� ����� ������ � ��������� . �������� ������� ������������, �������� ����� �� ������������� �� ��������� �����. ������� �� ���� ����� ����������� �� ��������� �� f ������� . ����� ���� ������������ ������� , �������������, . ������������, ���������� ���������� ������ ����� 0, ������� �������� �� ��������� ����� ��������� � ����������� �������� �����, ������ � ��������� . ��� �������������� ����� ������� ����������� ������������ �������� ����� (��.������� 4.1), �������������, � . ������� �� ���� ��������� ����� ��������� �� ��������� �� f . ����� ���� ������������ ������� , �������������, , ��� � �����������.
��������� 5.4. ����� A � B ���������� ������� ������� n. ����� ������������ ������������ ����� ������������ ������������� .